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N = 2(Zα + Zβ)2 s2/D2 (1)
donde 1 – β indica potencia del estudio, que es la confianza en que el test arroje un valor p menor de cierto límite α acordado por el investigador como suficientemente significativo, σ es la desviación estándar de la variable y D es la diferencia real de las medias poblacionales, que mide el efecto real del fármaco [3]. La mayoría de los médicos no sabe cómo buscar las cantidades Z de la fórmula, pero superan esa dificultad usando un software estadístico que calcula N aplicando esa fórmula o una versión muy próxima a ella, cuyos detalles no interesan aquí.
Cabría pensar que, dando los valores ‘correctos’ a los cuatro parámetros β, α, σ y D, se obtiene el valor de N ‘adecuado’, pero la realidad es que no hay valor ‘correcto’ para ninguno de esos cuatro parámetros y, por tanto, no existe ‘el N adecuado’. El médico elije β y α dentro de una amplia horquilla de márgenes razonables, mientras que σ y D se estiman basándose en indicios generalmente no muy precisos. Por ello, ninguno de los cuatro parámetros tiene valor exacto en ninguna investigación real [4,5].
Por ejemplo, si queremos tener confianza al 95% en obtener p < 0,01 y estimamos la desviación estándar en 15, si realmente F aumenta la media del neurotransmisor seis unidades más que el placebo, necesitamos N = 303. Pero, si elegimos tener confianza al 80% en tener p < 0,05 y estimamos la desviación en 12, para un efecto real 12, necesitamos N = 17. Son dos tamaños muestrales muy diferentes: ¿cuál de ellos es ‘el correcto’ o ‘el adecuado’? La respuesta es: ambos tamaños de muestra (y otros muchos) son ‘adecuados’ y ninguno es ‘el adecuado’.
En la Tabla vemos que, a igualdad de otros parámetros, N es mayor cuanto menor sea el efecto real del fármaco, D. Así, con desviación estándar 12, para tener una probabilidad del 95% de obtener valor p ≤ 0,01, necesitamos N = 38, si realmente F aumenta la media del neurotransmisor 12 unidades más que el placebo. Pero si es D = 6, necesitamos N = 145. De la misma manera, vemos que, a igualdad de otros parámetros, N es mayor cuanto menor es el valor p del test acordado, que N es mayor cuanto mayor es la potencia que el investigador elige y que N es mayor cuanto mayor es la desviación estándar de la variable.
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Tabla. Tamaño muestral, N, correspondiente a dos valores distintos de los parámetros β, α, σ y D utilizando la fórmula (1). |
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σ = 12 |
σ = 15 |
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Valor p |
Potencia |
D = 12 |
D = 6 |
D = 12 |
D = 6 |
|
0,05 |
80% |
N = 17 |
64 |
26 |
100 |
|
0,05 |
95% |
27 |
105 |
42 |
164 |
|
0,01 |
80% |
26 |
96 |
39 |
148 |
|
0,01 |
95% |
38 |
145 |
77 |
303 |
N = [Zα √ p1q1 + Zβ √ p2q2)/(p1 – p2)]2 (2)
la cual el médico no entiende ni tiene obligación de entender, porque no es su especialidad. Los programas informáticos calculan la N, pidiéndonos cuatro valores: la potencia (β), el valor p que elegimos como barrera (α), la proporción de ratas con cáncer en la población modificada sin A (p1), en nuestro ejemplo 0,8, y la proporción de ratas con cáncer en la población modificada que ha recibido A (p2). Nótese que qi = 1 – pi (i = 1,2).
Aplicando la fórmula (2), encontramos que si queremos, por ejemplo, tener una probabilidad del 80% de encontrar el valor p ≤ 0,05 y con esa dieta desarrollan realmente cáncer el 85%, necesitamos N = 491 ratas tratadas con A. Pero si con A desarrollan cáncer el 90%, necesitamos 118 ratas. Y si con A desarrollan cáncer el 95%, necesitamos 49 ratas.
Aprovechamos este último supuesto para mostrar que, aunque estas fórmulas no calculan el N adecuado, en ocasiones son muy útiles para detectar valores de N inadecuados. Si el médico dispone sólo de N = 20 ratas para tratar con A, le diremos que no procede hacer el estudio, porque tiene potencia del 15%, es decir, aunque con A desarrollen cáncer realmente el 95%, es muy improbable que en el test aparezca p ≤ 0,05. Por otra parte, si el médico propone usar N = 150, diremos que ese N es innecesariamente grande, porque con N = 120 tendrá potencia del 99,99% (aunque podría estar justificado si se desea estimar la p2 poblacional con un intervalo de confianza muy estrecho).
Todos los razonamientos expuestos son puramente lógicos y equivalentes al caso en que nos pregunten, por ejemplo, ‘¿cuántos euros necesito para comparar una bicicleta?’ Cuanto más dinero invierta, tendré una bicicleta con mejores prestaciones, pero ninguna cantidad es ‘la adecuada’. Con 50 euros compraré una bicicleta de niño, con 200 euros, una de adulto y con 3.000, una de profesional. Del mismo modo, es obvio que 5 euros es una cantidad insuficiente para comprar una bicicleta y 50.000 es innecesariamente grande.
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